Introduction aux Nombres Complexes
Les nombres complexes sont une extension des nombres réels, utilisés pour résoudre des équations qui n'ont pas de solutions dans l'ensemble des réels. Par exemple, l'équation x² + 1 = 0 n'a pas de solution réelle, mais elle en a dans l'ensemble des nombres complexes.
Définition
Un nombre complexe est généralement noté z et s'écrit sous la forme z = a + ib, où a et b sont des nombres réels, et i est l'unité imaginaire, définie par i² = -1. Dans cette expression, a est la partie réelle et b est la partie imaginaire du nombre complexe.
Égalité des Nombres Complexes
Deux nombres complexes z₁ = a + ib et z₂ = c + id sont égaux si et seulement si a = c et b = d. Cela signifie que leurs parties réelles et imaginaires respectives doivent être égales.
Addition et Soustraction
L'addition et la soustraction de nombres complexes se font terme à terme. Pour deux nombres complexes z₁ = a + ib et z₂ = c + id, on a :
- Addition : (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d)
- Soustraction : (a + ib) - (c + id) = (a - c) + i(b - d)
Multiplication
La multiplication de deux nombres complexes z₁ = a + ib et z₂ = c + id est donnée par :
(a + ib)(c + id) = (ac - bd) + i(ad + bc)
Il est important de se rappeler que i² = -1 lors de la multiplication.
Conjugué d'un Nombre Complexe
Le conjugué d'un nombre complexe z = a + ib est noté z̅ et est défini par z̅ = a - ib. Le produit d'un nombre complexe par son conjugué est un nombre réel :
z * z̅ = a² + b²
Module d'un Nombre Complexe
Le module d'un nombre complexe z = a + ib est noté |z| et est défini par :
|z| = √(a² + b²)
Le module représente la distance du point représentant le nombre complexe à l'origine dans le plan complexe.
Forme Trigonométrique
Un nombre complexe peut également être exprimé en forme trigonométrique : z = r(cosθ + isinθ), où r est le module de z et θ est l'argument de z.
Forme Exponentielle
La forme exponentielle d'un nombre complexe est donnée par la formule d'Euler : z = reiθ. Cette représentation est particulièrement utile pour simplifier les calculs impliquant des puissances et des racines de nombres complexes.