Introduction aux Fonctions Dérivées
La dérivation est un concept fondamental en mathématiques, particulièrement en analyse. Elle permet de déterminer le taux de variation d'une fonction par rapport à une variable. Ce cours vous introduira aux bases de la dérivation et aux formules essentielles pour dériver des fonctions courantes.
Définition de la Dérivée
La dérivée d'une fonction en un point mesure la pente de la tangente à la courbe de la fonction en ce point. Mathématiquement, la dérivée de f en a est définie par :
f'(a) = limh→0 (f(a+h) - f(a)) / h
Cette limite, si elle existe, donne la dérivée de f en a.
Formules de Dérivation
Voici quelques formules de dérivation de base :
- Si f(x) = k (où k est une constante), alors f'(x) = 0.
- Si f(x) = xn, alors f'(x) = n * xn-1.
- Si f(x) = 1/x, alors f'(x) = -1/x2.
- Si f(x) = √x, alors f'(x) = 1/(2√x).
Exemples de Calcul de Dérivées
Considérons quelques exemples pour illustrer l'application de ces formules :
- Exemple 1 : Pour f(x) = x3, la dérivée est f'(x) = 3x2.
- Exemple 2 : Pour f(x) = 1/x2, la dérivée est f'(x) = -2/x3.
Applications des Dérivées
Les dérivées ont de nombreuses applications pratiques, notamment :
- Optimisation : Trouver les maxima et minima d'une fonction.
- Analyse de Graphiques : Déterminer la concavité et les points d'inflexion.
- Mouvement : Calculer la vitesse et l'accélération en physique.
Conclusion
La maîtrise des dérivées est essentielle pour progresser en mathématiques et dans de nombreux domaines scientifiques. En comprenant les formules de base et en pratiquant leur application, vous serez bien équipé pour aborder des problèmes plus complexes.