Étude des Fonctions Quadratiques

Les fonctions quadratiques sont des fonctions polynomiales de degré deux, généralement exprimées sous la forme :

f(x) = ax² + bx + c

où a, b, et c sont des constantes réelles et a ≠ 0.

1. Discriminant et Racines

Le discriminant d'une fonction quadratique est donné par :

Δ = b² - 4ac

Le discriminant permet de déterminer le nombre de racines réelles de l'équation quadratique :

• Si Δ > 0, l'équation a deux racines réelles distinctes.
• Si Δ = 0, l'équation a une racine réelle double.
• Si Δ < 0, l'équation n'a pas de racines réelles.

2. Forme du Graphe

Le graphe d'une fonction quadratique est une parabole. La direction de l'ouverture de la parabole dépend du signe de a :

• Si a > 0, la parabole s'ouvre vers le haut.
• Si a < 0, la parabole s'ouvre vers le bas.

3. Sommet de la Parabole

Le sommet de la parabole est le point où elle atteint son maximum ou son minimum. Les coordonnées du sommet (x₀, y₀) sont données par :

x₀ = -b / (2a)

y₀ = f(x₀) = a(x₀)² + b(x₀) + c

4. Intervalles de Monotonie

La fonction quadratique est monotone sur les intervalles déterminés par le sommet :

• Si a > 0, la fonction est décroissante sur (-∞, x₀) et croissante sur (x₀, +∞).
• Si a < 0, la fonction est croissante sur (-∞, x₀) et décroissante sur (x₀, +∞).

5. Étude des Signes

L'étude des signes de la fonction quadratique dépend des racines :

• Si Δ > 0, la fonction change de signe aux racines.
• Si Δ = 0, la fonction ne change pas de signe et est nulle au sommet.
• Si Δ < 0, la fonction ne s'annule pas et garde le signe de a.

Conclusion

L'étude des fonctions quadratiques est essentielle pour comprendre le comportement des polynômes de degré deux. En analysant le discriminant, le sommet, et les intervalles de monotonie, on peut déterminer les caractéristiques principales de la parabole associée.