Introduction à la Théorie des Ensembles
1. Qu'est-ce qu'un Ensemble ?
Un ensemble est une collection d'éléments distincts. Par exemple, l'ensemble A = {1, 2, 3} contient les éléments 1, 2 et 3. Un élément peut appartenir à un ensemble, noté 2 ∈ A, ou ne pas appartenir à un ensemble, noté 5 ∉ A.
2. Définir un Ensemble
Il existe deux principales manières de définir un ensemble :
- Par extension : On énumère tous les éléments de l'ensemble, par exemple, A = {a, e, i, o, u}.
- Par compréhension : On définit les propriétés que doivent vérifier les éléments, par exemple, A = {x ∈ ℕ | x est pair}.
3. Ensembles de Nombres
Les ensembles de nombres les plus courants incluent :
- ℕ : Entiers naturels
- ℤ : Entiers relatifs
- ℚ : Nombres rationnels
- ℝ : Nombres réels
- ℂ : Nombres complexes
4. Inclusion et Égalité
Un ensemble A est inclus dans un ensemble B si tous les éléments de A sont aussi dans B, noté A ⊆ B. Deux ensembles sont égaux si A ⊆ B et B ⊆ A.
5. Opérations sur les Ensembles
- Union : A ∪ B est l'ensemble des éléments qui sont dans A, dans B, ou dans les deux.
- Intersection : A ∩ B est l'ensemble des éléments qui sont à la fois dans A et B.
- Différence : A \ B est l'ensemble des éléments qui sont dans A mais pas dans B.
- Complément : Ac est l'ensemble des éléments qui ne sont pas dans A.
6. Diagrammes de Venn
Les diagrammes de Venn sont des représentations graphiques des relations entre différents ensembles. Ils sont utiles pour visualiser les opérations comme l'union et l'intersection.
7. Cardinalité
La cardinalité d'un ensemble est le nombre d'éléments qu'il contient. Par exemple, pour A = {1, 2, 3}, la cardinalité est |A| = 3.
8. Fini ou Infini ?
Un ensemble est fini s'il a un nombre limité d'éléments. Il est infini s'il n'a pas de fin. Les ensembles infinis peuvent être dénombrables (comme ℕ) ou non dénombrables (comme ℝ).
9. Produit Cartésien
Le produit cartésien de deux ensembles A et B est l'ensemble de toutes les paires possibles (a, b) où a ∈ A et b ∈ B.
10. Relations et Fonctions
Une relation entre deux ensembles est un ensemble de paires ordonnées. Une fonction est une relation spéciale où chaque élément du premier ensemble est associé à un seul élément du second ensemble.
11. Axiomatique ZF et Paradoxe de Russell
L'axiomatique de Zermelo-Fraenkel (ZF) est un ensemble d'axiomes utilisés pour formaliser la théorie des ensembles. Le paradoxe de Russell questionne l'existence de l'ensemble de tous les ensembles qui ne se contiennent pas eux-mêmes.